実力養成会の皆さん、保護者の皆さん、こんにちは。
本日、札幌日大高校で、第1回全統記述模試が実施されてます。これにより、全高校でこ
の模試が終了しました。そこで、数学の「講評・総括」をさせてもらいます。会員の皆さ
んは、改めて、以下にまとめた「講評・総括」を確認して、本日で、「振り返り」を完結
させて下さい!!
【総括】
■例年の第1回全統記述模試と比較して、点数は取りやすいです。
■第2問の平面ベクトルは、この時期、完答 しておかなくてはなりません。記述模試にしては、「ゆる過ぎ」とすら感じてしまう問題です。
■第3問の確率の(3)、第4問の三角関数の(2)、第6問の複素数平面の(2)の3題は、極めて、正答率が低くなっていると予想します。ここの出来、不出来が合否の境界線という意識でガッチリと復習し、完全マスターしてください。
■全体を通して、「図」をしっかりと描き、「図」と にらめっこしてた生徒が点数を上積みできたと思われます。
【第1問】<必須>独立小問集合/配点40点
・(1)(2)(4)(5)は、楽勝問題です。もし、ここで失点しているようならば、非常にマズいと意識しましょう。初歩の初歩です。教科書の例題そのものですぞ!!
・(3)は良問です。手が止まった生徒もいたことと思います。”解答・解説”には、書かれてませんが「合同式」で処理しても大丈夫です。しかし、ここは、「3で割った余り」をきいてるので、nを「3で割った余り」で分類して、いわゆる、逆からたどって、(nの2乗)＋(nの3乗) が3で割り切れないか否かを チェック していく・・・・このような「逆算」の発想ができたか?・・・ここがこの問題のポイントです。
【第2問】<必須>平面ベクトル/配点40点
・全体としてみたら、標準的というかやや初級寄りの問題です。センターでよく見かける問題です。完答しておきゃなかならない問題です。
・(2)は一見、メネラウス?・・・と考えた生徒もいるでしょう・・・しかし、メネラウスは、”はまりません!! ” ここは実直に、s、t と置いてやるしかありません。
・(3)センターでよく見る、超典型問題ですね。特に(ⅱ)の面積は王道中の王道!!
【第3問】<必須>確率/配点40点
まず、「やだなぁ」と思ったのでは? 特に(3)は、”9回繰り返し・・・”9回? となったと思います。みなさんの気持ちはわかりますっ!! でも冷静になって考えましょう!!本当に9回すべてチェックします? そこに、絶対、何かに着目させるんですよっ!!でないと「9回」なんてのは、いじめ以外の何物でもありません!!
・(1)「テーブルに球が置かれていない」⇒「赤が2回」
・(2)「リセット」が起こっているタイミングに着目!!
・(3)「リセット」を主語にして考える。すなわち、2回のあと初めてリセット、3回のあと初めてリセット、4回のあと初めてリセット・・・・このような、見方をすると9回のの後でも3パターにンなるのが見えてくる!!どうでしょうか?
【第4問】<必須>三角関数の応用/配点40点
・(1)前半は、”合成”で決まり。問題なしですね。後半は、合成により、”アルファ”が どのような定角であるか? もちろん有名角にはなりませんが、sin,cos の値で、だいたいの位置は、つかめます。60度～90度の間。この見当をつける部分が重要です。
・(2)(ⅰ)は、解説・解答にあるように、単位円(正確には半径ルート5の円)で考え、交点が3つ。すなわち、2個＋1個、 この場合、どのゾーン で、2個 と 1個 が実現するか? ここがポイントですね。 このような問題は、やはり、単位円でビジュアル勝負です!! (グラフでもなんとかなりますが・・・)
(ⅱ)難問です。この時期、既に、完答できていたならば、「東大レベル」と言えます。3個の解のうち、2個はy軸対称になっていることに気付かなければ、解けません。そこから、3つの解の和=１８０度 の事実 を受けて、３つの解のうち１つが（アルファ）の２倍になっていることがわかります。これを合成の元の式にぶち込めば、あとは「３倍角」で一本道です！！ この問題は、いろいろなことが組合わせれています。とても高度な問題と言えますが、やはり、「ｙ軸対称」に気付くという部分が肝です。やっぱり”ビジュアル”すなわち、目に見える形で、図とにらめっこ・・・・図が大事！！こういうことです。
【第5問】<選択>数列の極限/配点40点
見るからに、難しそうな印象を受けた生徒も多いはず。実は、そんなに難しくはありません。しっかりと図を描ければ、あとは、以外と教科書の章末問題レベルです。見た目で判断しちゃダメ!!という典型的な問題と言えます。
・(1)問題自体の見た目は、「難しそう!!」こんな感じでしょう。しかし、問題の条件を忠実に描けたら、すなわち、解答・解説にある図を描けたら、そのあとは、台形の面積公式にのっとれば、以外とサクサクいけます。
(2)不定形の処理!! 他に何もありません。
(3)まず、何はともあれ、アルファ2を代入でしょう。その後、ゴリゴリ計算。 そこで、nの(p－2)乗の極限を考えます。そこで、有限確定値に収束することを考えれば、pは2でなきゃならないことがわかります!!
【第6問】<選択>複素数平面/配点40点は、
(1)は、サービス問題ですね。これで、なんと、10点。「ごっつぁんですっ!!」
(2)(ⅰ)解答・解説は、メチャクチャ丁寧に、書いてますが、ここまでしなくとも、直感的にわかりますね? ただ1つの共有点をもつので「接する」時が分岐点となります。あざやかに、30度、60度、90度 となりますね。解答も、くどくど書く必要はありません。いつも、先生が言う「図から〇〇〇となることが読み取れる」で十分です。
(ⅱ問題の条件を読み違えた生徒が何名かいました!!「しっかりと慎重に読む」そのうえでやはり、図形的に考えるしかありません。(ⅰ)の図形を原点を中心にぐるっと回していく!!そんなイメージで考えてみてください。その際、βの虚部とアルファの虚部の大小関係を考えて、「はじかなければならない」箇所を丁寧にチェックしていけば、見えてきます。ただし、面積を求める際は、(全体)－(余計な部分) で行くしかありません。これは、積分の面積計算の時と同じ発想です。(ⅱ)正答率は、かなり低くなるはずです。意外と面積計算で手こずります。